Phương trình(1).

Question

Giải phương trình:

$x^{\log_29}=x^2\times3^{\log_2x}-x^{\log_23}$

score 1 · Answer 1

ĐK:

$x>0$ .

Đặt:

$t=\log_2x \Rightarrow x=2^t$

Phương trình đã cho trở thành:

$(2^t)^{\log_29}=(2^t)^2.3^t-(2^t)^{\log_23}$

$\Leftrightarrow (2^{\log_29})^t=12^t-(2^{\log_23})^t$

$\Leftrightarrow 9^t=12^t-3^t$

$\Leftrightarrow 1+3^t=4^t$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{4}\right)^t+\left(\dfrac{3}{4}\right)^t=1 (*)$

Xét hàm:

$f(t)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^t+\left(\dfrac{3}{4}\right)^t,t\in\mathbb{R}$

Ta có:

$f'(t)=\left(\dfrac{1}{4}\right)^t\ln\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^t\ln\dfrac{3}{4}<0,\forall t\in\mathbb{R}$

Suy ra:

$f(t)$ nghịch biến trên

$\mathbb{R}$

$\Rightarrow f(1)=1$ có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mà

$f(1)=1$ nên:

$(*) \Leftrightarrow t=1 \Leftrightarrow x=2$ .

1 Đáp án