Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số(1).

Question

Tìm max, min của:

$y=\ln\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}\right)$ trên

$\left[0;\,1\right]$

score 1 · Answer 1

Điều kiện:

$x+1>0 \Leftrightarrow x>-1$ .

Ta có:

$y=\ln(x^2+1)-\ln(x+1)$

$\Rightarrow y'=\dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)(x^2+1)}$

$y'=0 \Leftrightarrow x^2+2x-1=0 \Leftrightarrow x=-1\pm\sqrt2$

Lập bảng biến thiên ta thấy:

$y$ nghịch biến trên khoảng

$(0;-1+\sqrt2)$

$y$ đồng biến trên khoảng

$(-1+\sqrt2;1)$

Ta có:

$y(0)=0;y(-1+\sqrt2)=\ln(2\sqrt2-2);y(1)=0$

nên:

$\min_{x\in[0;1]}y=y(-1+\sqrt2)=\ln(2\sqrt2-2);\max_{x\in[0;1]}y=y(0)=y(1)=0$ .

1 Đáp án