1. Cho hai bộ số $a_{1},
a_{2}, ..., a_{n}$ và $b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}$ $(n\geq 2)$ bất kì. Chứng minh
$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq$
$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$
Dấu bằng xảy ra khi và
chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho $b_{1}=ka_{1}$, với mọi $i=1,..., n$
2. Với mọi số nguyên
dương $n$, chứng minh tồn tại đường tròn chứa đúng $n$ điểm nguyên trong
mặt phẳng toạ độ.