|
|
Đây là một bài toán khá khó và cần một công cụ khá mạnh để giải quyết.
Trước hết xin nêu ra (không chứng minh) BDT trọng số trung bình cộng - trung bình nhân tổng quát hay còn gọi là Cô-si tổng quát hoặc Cô-si trọng số.
Cho $a_i, \lambda_i>0$ sao cho $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ thì ta có
$$\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}.$$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a_i=a_j, 1 \le i,j \le n.$
Áp dụng BDT cho $\lambda_i=\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}, a_i =x_i^i, 1 \le i \le n.$ ta được
$\dfrac{A}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}=\sum_{i=1}^n\dfrac{\frac{1}{i}}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}x_i^i=\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i \ge \prod_{i=1}^na_i^{\lambda_i}=\left ( \prod_{i=1}^nx_i \right )^{\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}$.
Mặt khác tử giả thiết $\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}=n$ dễ suy ra $\prod_{i=1}^nx_i \ge 1.$
Do đó $A \ge \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}.$
Vậy $\min A = \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\Leftrightarrow x_i=1, 1 \le i\le n.$
|