|
|
Gọi $M(m,4)$ là những điểm trên $y=4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PT đường thẳng qua $M$ có dạng $y=k(x-m)+4$. Để đường thẳng này tiếp xúc với $y=\frac{x^2}{x-1}$ thì hệ sau đây phải có nghiệm
$\begin{cases}\frac{x^2}{x-1}=k(x-m)+4
\\ \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=k \end{cases}\Rightarrow
\frac{x^2}{x-1}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}(x-m)+4$
$\Rightarrow (x-2)\left[ {(m-3)x+2} \right]=0$
$\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} x_1=2\\ x_2=\frac{-2}{m-3}, m\ne 3. \end{matrix}} \right.$
Ta thấy rằng $x_1=2$ cho $k_1=0$ và đây chính là đưởng thẳng $y=4$ song song với $Ox$.
Do vậy để đường thẳng thứ hai tạo với với đưởng thẳng này góc $45^\circ$ thì $k_2=1$ hoặc $k_2=-1$ vì $k_2=|\tan 45^\circ|=1$.
Thay vào PT $\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=k_2$ chỉ cho ta nghiệm $x_2=1\pm \frac{1}{\sqrt 2}$ khi $k=-1.$
Tiếp tục thay vào $x_2=\frac{-2}{m-3}$ cho ta $m=2\sqrt 2-1$ hoặc $m=-2\sqrt 2-1.$
Vậy có hai điểm thỏa mãn $M_1(2\sqrt 2-1,4),M_2(-2\sqrt 2-1,4).$
|