Bất đẳng thức

Question

Chứng minh $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$ với $a,b,c>0$

score 1 · Answer 1

Nhận xét, trong ba số $a,b,c$ sẽ có hai số hoặc cùng $\geq 1$ hoặc cùng $\leq1$.

KMTTQ, giả sử hai số đó là $a,b$. Khi đó: $(a−1)(b−1)\geq0$.

Lại có:

$a^2+b^2+c^2+2abc+1−2(ab+bc+ca)=(a−b)^2+(c−1)^2+2c(a−1)(b−1)\geq0$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq2(ab+bc+ca)$, đpcm.

score 1 · Answer 2

BĐT Schur có dạng:

$a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \geq 0 (a,b,c \geq 0)$

Ta chứng minh BĐT bằng cách đặt ẩn phụ

Do vai trò của a,b,c như nhau nên ta giả sử luôn $a \geq b \geq c$

Đặt $x=a-b \geq 0 và y=b-c \geq 0$

Ta có

$a(a-b)(a-c)=(c+x+y).x.(x+y)=(c+x+y)x.(x+y)$

$b(b-c)(b-a)=(c+y).y.(-x)=-(c+y).xy$

$c(c-a)(c-b)=c.-(x+y).-(y)=c(x+y).y$

BĐT được viết lại thành

$(c+x+y).x.(x+y)-(c+y).xy+c(x+y).y \geq 0$

Phá ngoặc tràn lan rồi gộp lại thành nhóm, ta có

$c(x^2+xy+y^2)+x^2(x+2y) \geq 0$ : điều này luôn đúng vì x,y,c đều không âm

$\Rightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b) \geq 0$

Tiếp tục phá hết ngoặc ra thì ta có

$a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a) \geq 0$ (cái này chính là cái bạn hỏi nè )

score 2 · Answer 3

Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:

2 a b c + 1 = a b c + a b c + 1 \geq 3 a 2 b 2 c 2 - - - - - \sqrt 3 \geq 9 a b c a + b + c

Do đó, ta chỉ cần chứng minh:

a 2 + b 2 + c 2 + 9 a b c a + b + c \geq 2 (a b + b c + c a)

Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:

a 3 + b 3 + c 3 + 3 a b c \geq a b (a + b) + b c (b + c) + c a (c + a)

Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh.

http://vi.wikipedia.org/wiki/Bất_đẳng_thức_SchurBạn có thể tham khảo – ♂Vitamin_Tờ♫ 08-08-13 12:57 PM

uk tks nha – caheoxanh_99 08-08-13 10:46 AM

Ờm, chiều rảnh mình cm cho nha. Giờ đang chuận bị ăn cơm :) – NguyễnTốngKhánhLinh 08-08-13 10:41 AM

cậu chứng minh bđt Schur cho mình đc ko? Mình chưa được học đến bđt này – caheoxanh_99 08-08-13 10:36 AM

3 Đáp án