Bổ đề 1: $e^x>1+x,\forall x>0$, chứng minh bằng đạo hàm.
Bổ đề 2: $I=\int\limits_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$
Thật vậy, đặt $x=\tan t, t\in[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]$
Suy ra: $dx=(1+\tan^2t)dt$
Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=0$
$x=1 \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{4}$
Từ đó: $I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1+\tan^2t}{1+\tan^2t}dt=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}dt=\dfrac{\pi}{4}$
Quay lại bài toán ta có:
$e^{\frac{1}{1+x^2}}>1+\dfrac{1}{1+x^2}$
$\Rightarrow \int\limits_0^1e^{\frac{1}{1+x^2}}dx>\int\limits_0^1\left(1+\dfrac{1}{1+x^2}\right)dx=1+\dfrac{\pi}{4}$