Xét $t\in\mathbb{R}$ ta có:
$[tf(x)-g(x)]^2\ge0$
$\Rightarrow t^2f^2(x)-2tf(x)g(x)+g^2(x)\ge0$
$\Rightarrow h(t)=t^2\int\limits_a^bf^2(x)dx-2t\int\limits_a^bf(x)g(x)dx+\int\limits_a^bg^2(x)dx\ge0$
Vì $h(t)$ là tam thức bậc 2 luôn không âm nên ta có:
$\Delta_h'\le0 \Leftrightarrow \left(\int\limits_a^b f(x)g(x)dx\right)^2\le\int\limits_a^b f^2(x)dx.\int\limits_a^b g^2(x)dx$