Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức(5).

Question

Chứng minh rằng với

$x\in\left(0;\,\dfrac{\pi}{2}\right),$ ta luôn có:

$\cos x<1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$

score 4 · Answer 1

Xét hàm

$f(x) =1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\cos x, \quad \forall x\in\left(0;\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ .

$f'(x)=-x+\frac{x^3}{6}+\sin x$

$f''(x)=-1+\frac{x^2}{2}+\cos x$
Theo bài ở link dưới đây ta chứng minh được rằng

$f''(x)<0$ nên

$f'(x)$ là hàm nghịch biến trên

$f'(x)<f'\left ( 0 \right )=0$ do đó

$f(x)$ là hàm nghịch biến trên

$x\in\left(0;\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ .

$\Rightarrow f(x)<f(0)=0$ , đpcm.

1 Đáp án