|
|
Trước hết ta chứng minh $g(x)=x-\tan x <0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Thật vậy, $g'(x)=1-\frac{1}{\cos^2x} <0 , \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow g(x)$ là hàm nghịch biến
$\Rightarrow g(x)<g(0)=0$.
Tiếp đến xét hàm $f(x)=\frac{\sin x}{x}, \quad x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Ta có : $f'(x) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=\frac{x-\tan x }{x^2\cos x}<0\quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow f(x)$ là hàm nghịch biến
$\Rightarrow f(a)>f(b)\Rightarrow $ đpcm.
|