Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức.

Question

Chứng minh rằng với

$\forall x\in\mathbb{R},$ ta luôn có:

$1-\dfrac{x^2}{2}\leq \cos x$

score 4 · Answer 1

Xét hàm

$f(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2} - 1 , \ \forall x \ge 0$ .

$f'(x) = x - \sin x$

$f''(x) = 1 - \cos x \ge 0 \forall x \ge 0$
Suy ra hàm

$f'(x)$ đồng biến hay

$f'(x) \ge f'(0)=0 \quad \forall x \ge 0$
Vậy hàm

$f(x)$ đồng biến hay

$f(x) \ge f(0)=0 \quad\forall x \ge 0$

$\Rightarrow \cos x+\dfrac{x^2}{2}-1\geq 0$

$\Leftrightarrow \cos x \ge 1 - \dfrac{x^2}{2}$

Trong lời giải trên ta chú ý rằng khi thay

$x$ bời

$-x$ thì BĐT không thay đổi nên ta chỉ cần làm việc với

$x \ge 0.$ – Trần Nhật Tân 21-07-13 11:24 PM

score 1 · Answer 2

Xét hàm

$f(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2} - 1 , \ \forall x \in R$

$f'(x) = x - \sin x \ge 0 \ \forall x \in R$ , thật vậy

$f''(x) = 1 - \cos x \ge 0 \forall x \in R$ nên

$f'(x)$ đồng biến hay

$f'(x) \ge f'(0) = 0$

Vậy hàm

$f(x)$ đồng biến hay

$f(x) \ge 0 \forall x \in R$

$\Rightarrow \cos x+\dfrac{x^2}{2}-1\geq 0$

$\Leftrightarrow \cos x \ge 1 - \dfrac{x^2}{2}$

ĐPCM

ok, đem khuya k minh mẫn lắm – Dép Lê Con Nhà Quê 21-07-13 11:18 PM

Em tính

$f'(x)$ nhầm rồi nhé! – Trần Nhật Tân 21-07-13 11:17 PM

2 Đáp án