BĐT đã cho tương đương với: (3a−b−c)(3b−a−c)(3c−a−b)≤abc.
Ta có BĐT sau: xy≤(x+y)24,∀x,y∈R
Áp dụng BĐT trên ta có:
(3a−b−c)(3b−a−c)≤(a+b−c)2
(3b−a−c)(3c−a−b)≤(b+c−a)2
(3a−b−c)(3c−a−b)≤(a+c−b)2
(a+b−c)(a+c−b)≤a2
(a+b−c)(b+c−a)≤b2
(a+c−b)(b+c−a)≤c2
Từ đó suy ra: (3a−b−c)2(3b−a−c)2(3c−a−b)2≤a2b2c2
⇒(3a−b−c)(3b−a−c)(3c−a−b)≤abc
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=c