Bất đẳng thức.

Question

score 5 · Answer 1

Trước hết có một đẳng thức khá đẹp sau đây em tự chứng minh xem như bài tập nhé.
Với mọi

$a,b,c$ thì

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a)+abc$
Từ đây suy ra

$(a+b+c)(ab+bc+ca)=1+abc$ .
Do đó để chứng minh

$ab+bc+ca \le \frac{3}{4}$ ta sẽ chứng minh

$1+abc \le \frac{3}{4}(a+b+c)$ .
Tuy vậy thì BĐT này không quá khó vì ta sẽ nghĩ đến các BĐT bắc cầu khác, đó là

$\begin{cases} abc \le \frac{1}{8} \qquad (1) \\ a+b+c \ge \frac{3}{2} \qquad (2) \end{cases}$ .
Thật vậy,
+ Chứng minh

$(1)$ : Áp dụng BĐT Cô-si ta có

$1= (a+b)(b+c)(c+a) \ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc \Rightarrow (1)$ được chứng minh.
+Chứng minh

$(2)$ : Áp dụng BĐT Cô-si ta có

$1= (a+b)(b+c)(c+a) \le \left ( \frac{2(a+b+c)}{3} \right )^3\Rightarrow (2)$ được chứng minh.

1 Đáp án