|
|
Trước hết có một đẳng thức khá đẹp sau đây em tự chứng minh xem như bài tập nhé.
Với mọi $a,b,c$ thì
$$(a+b+c)(ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a)+abc$$
Từ đây suy ra $(a+b+c)(ab+bc+ca)=1+abc$.
Do đó để chứng minh $ab+bc+ca \le \frac{3}{4}$ ta sẽ chứng minh $1+abc \le \frac{3}{4}(a+b+c)$.
Tuy vậy thì BĐT này không quá khó vì ta sẽ nghĩ đến các BĐT bắc cầu khác, đó là
$$\begin{cases} abc \le \frac{1}{8} \qquad (1) \\ a+b+c \ge \frac{3}{2} \qquad (2) \end{cases}$$.
Thật vậy,
+ Chứng minh $(1)$: Áp dụng BĐT Cô-si ta có
$1= (a+b)(b+c)(c+a) \ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc \Rightarrow (1)$ được chứng minh.
+Chứng minh $(2)$: Áp dụng BĐT Cô-si ta có
$1= (a+b)(b+c)(c+a) \le \left ( \frac{2(a+b+c)}{3} \right )^3\Rightarrow (2)$ được chứng minh.
|