bất đẳng thức. chiều mình cần rùi

Question

cho

$a, b, c$ là các số thực dương thỏa:

$a+b+c=1$ . tìm GTLN của

$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}} + \sqrt{\frac{bc}{bc+a}} + \sqrt{\frac{ac}{ac+b}}$

khi nhập công thức bạn nên đưa công thức vào giữa hai dấu $ thì công thức mới hiển thị đúng được.(BQT) thank!

score 0 · Answer 1

Biến đổi từng căn thức như sau

$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+c(a+b+c)}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+ca+cb+c^2}}$

$=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}=\sqrt\frac{a}{c+a}.\sqrt\frac{b}{c+b}$

Theo BĐT Cauchy

$\sqrt x.\sqrt y\leq\frac{1}{2}(x+y)$ Do đó

$\sqrt\frac{ab}{ab+c}\le \frac{1}{2}(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b})$

Tương tự

$\sqrt\frac{bc}{bc+a}\le\frac{1}{2}(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a})$

$\sqrt\frac{ca}{ca+b}\le\frac{1}{2}(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b})$

Cộng theo vế , ta có

$GTLN=\frac{3}{2}$

Dấu bằng có khi

$a=b=c=\frac{1}{3}$

1 Đáp án