Trường hợp 1 : Trong 3 số a,b,c có một số bằng 0 , chẳng hạn là a Khi đó b+c=0⇒b2013+c2013=0
Trường hợp 2 : Cả số đều khác 0
Nếu như có hai số dương và một số âm , giả sử c âm khi đó c=−(a+b)
E=a2013+b2013−(a+b)2013 nhỏ hơn 0
Nếu như có hai số âm và một số dương , giả sử c dương
Đặt x=−a,y=−b,z=c=−(a+b)=x+y
E=(x+y)2013−(x2013+y2013)(1)
Trong đó x2+y2+(x+y)2=1(2)
Áp dụng BĐT (x+y)2≤2(x2+y2) ta có
32(x+y)2≤1≤3(x2+y2)
⇒{x+y≤√23(3)x2+y2≥13(4)
Áp dụng BĐT Bunhia Suy rộng
(x2013+y2013)(x+y)(x+y)...(x+y)≥(x2+y2)2012 ( gồm 2011 số x+y)
⇒x2013+y2013≥(x2+y2)2012(x+y)2011≥161006√23(5)
Từ (3),(5)⇒E≤2100631006√23−161006√23
Đẳng thức xảy ra ⇔x=y=1√6,z=√23⇔a=b=−1√6,c=√23