$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2} \geq \frac{3}{4}$

Question

Cho

$x,y,z>0$ thỏa

$xyz=1$ . Chứng minh rằng:

khi gõ công thức bạn không cần dãn dòng quá nhiều vì khi công thức hiển thị trên trang web đã tự dãn cách rồi.BQT.Thank!

score 3 · Answer 1

Trong 3 số

$x,y,z$ tồn tại 2 số đều không nhỏ hơn 1 hoặc đều không lớn hơn 1.

Giả sử là

$x,y$ . Khi đó ta có:

$(x-1)(y-1)\ge0$

$\Leftrightarrow 1+xy\ge x+y$

$\Leftrightarrow 2(1+xy)\ge(1+x)(1+y)$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{(1+x)(1+y)}\ge\dfrac{1}{1+xy}$

Ta có:

$VT\ge\dfrac{2}{(1+x)(1+y)}+\dfrac{1}{(1+z)^2}$

$\ge\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{(1+z)^2}$

$=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{1}{(1+z)^2}$

$=\dfrac{3}{4}+\dfrac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\ge\dfrac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$x=y=z=1$

1 Đáp án