Từ phương trình thứ nhất ta cóx+√x2+1=1y+√y2+1=√y2+1−y
Đặt f(x)=√x2+1+x khi đó f(x)=f(−y)(1)
Bây giờ ta sẽ tính đạo hàm của f(x)
f′(x)=x√x2+1+1=x+√x2+1√x2+1 luôn luôn là một số dương
Kết hợp với (1) ta suy ra x=−y
Thế vào phương trình thứ hai ta có
4√x+2+√22−3x=x2+8
⇒(4√x+2−4)+(√22−3x−5)=x2−1
⇒4x+1√x+2+1−3x+1√22−3x+5=(x−1)(x+1)
Trường hợp 1: x+1=0⇒x=−1 là một nghiệm của bài toán
Trường hợp 2: x+1≠0 khi đó
4√x+2+1−3√22−3x+5=x−1(1)
Chú ý rằng trong điều kiện xác định −2≤x≤223 thì vế trái của (1) là một hàm nghịch biến , còn vế phải là hàm đồng biến nên (1) chỉ có một nghiệm duy nhất . Thử thấy x=2 thỏa mãn
Vây x=−1,y=1 hoặc x=2,y=−2