Từ phương trình thứ nhất ta có$x+\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}=\sqrt{y^{2}+1}-y$
Đặt $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}+x$ khi đó $f(x)=f(-y) (1)$
Bây giờ ta sẽ tính đạo hàm của $f(x)$
$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+1=\frac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}}$ luôn luôn là một số dương
Kết hợp với $(1)$ ta suy ra $x=-y$
Thế vào phương trình thứ hai ta có
$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$
$\Rightarrow (4\sqrt{x+2}-4)+(\sqrt{22-3x}-5)=x^2-1$
$\Rightarrow 4\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+1}-3\frac{x+1}{\sqrt{22-3x}+5}=(x-1)(x+1)$
Trường hợp 1: $x+1=0\Rightarrow x=-1$ là một nghiệm của bài toán
Trường hợp 2: $x+1\neq 0$ khi đó
$\frac{4}{\sqrt{x+2}+1}-\frac{3}{\sqrt{22-3x}+5}=x-1 (1)$
Chú ý rằng trong điều kiện xác định $-2\leq x\leq \frac{22}{3}$ thì vế trái của $(1)$ là một hàm nghịch biến , còn vế phải là hàm đồng biến nên $(1)$ chỉ có một nghiệm duy nhất . Thử thấy $x=2$ thỏa mãn
Vây $x=-1, y=1$ hoặc $x=2, y=-2$