Đặt: $5^x=a,5^y=b,5^z=c$, thì ta có:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\frac{a^2}{a+bc}+ \frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab} \ge\frac{a+b+c}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{a^3}{a^2+abc}+ \frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc} \ge\frac{a+b+c}{4} $
Ta có: $ \frac{a^2}{a+bc} = \frac{a^3}{a^2+abc} = \frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{(a+b)(a+c)} $
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3a}{4}$
Hay $\frac{a^2}{a+bc}\ge\frac{a}{2}-\frac{b}{8}-\frac{c}{8}$
Tương tự: $\frac{b^2}{b+ac}\ge\frac{b}{2}-\frac{c}{8}-\frac{a}{8}$
$\frac{c^2}{c+ab}\ge\frac{c}{2}-\frac{a}{8}-\frac{b}{8}$
Từ đó suy ra:
$ \frac{a^2}{a+bc}+ \frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab} \geq \frac{1}{4}(a+b+c) $