Cách chọn điểm rơi:Do vai trò của b và c như nhau, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy như sau:
$\frac{1}{2}{a^2} + x{b^2} \ge \sqrt {2x} .ab$
$\frac{1}{2}{a^2} + x{c^2} \ge \sqrt {2x} .ac$
$(1 - x){b^2} + (1 - x){c^2} \ge 2(1 - x)bc$
Cộng vế theo vế, ta được:
${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \sqrt {2x} .ab + 2(1 - x)bc + \sqrt {2x} .ac$
$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \sqrt {2x} \left[ {ab + 2\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}bc + ac} \right]$
Theo yêu cầu bài toán thì:
\[\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {2x} = 1 - x \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0,0 < x < 1 \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt 3 \]
Tới đây, ta thế $x = 2 - \sqrt 3 $ vào 3 BĐT ban đầu để tìm GTNN của P.