1) Tam giác SAC có đường trung tuyến $SO = \frac{a}{2} =
\frac{1}{2}AC$ nên SAC vuông tại S.
SO đồng thời là đường cao của tam giác SAC nên tam giác SAC
vuông cân.
$SA = SA = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao $BO = \frac{{a\sqrt 3
}}{2}$
Tam giác SBD có SO là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên SBD cân tại S.
$SB = SD = \sqrt {S{O^2} + B{O^2}} = a.$
2) Gọi K là trung điểm AB, I là trung điểm AK.
Tam giác ABD đều nên đường trung tuyến CK đồng thời là đường
cao, $CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
OI là đường trung bình của tam giác CAI nên $ OI =
\frac{1}{2}CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} và OI\parallel CK.$
$Do CK \bot AB \Rightarrow OI \bot AB$.
Mà $SO \bot AB$
$\Rightarrow AB \bot (SOI)$
Trong (SOI), kẻ $OH \bot SI$
Mà $OH \bot AB$ (do $AB \bot (SOI)$)
$\Rightarrow OH \bot (SAB)$
$ \Rightarrow d(O,(SAB)) = OH$
Trong tam giác SOI vuông tại O có đường cao OH, ta có:
\[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} +
\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{28}}{{3{a^2}}}
\Leftrightarrow OH = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\]
Vậy ${\rm{d}}\left( {{\rm{O}},\left( {{\rm{SAB}}} \right)}
\right){\rm{ }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.$
3) Ta có: $AC \bot BD,AC \bot SO \Rightarrow AC \bot (SBD)$
Trong (SBD), kẻ $OP \bot SB.$
Mà $OP \subset (SBD) \Rightarrow OP \bot AC$
$\Rightarrow OP$ là đường vuông góc chung của AC và SB.
$\Rightarrow d(AC,SB) = OP$
Trong tam giác SOB vuông tại O có đường cao OP, ta có:
\[\frac{1}{{O{P^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} +
\frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} =
\frac{{16}}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow OP = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\]
Vậy ${\rm{d}}\left( {{\rm{AC}},{\rm{SB}}} \right){\rm{ }} =
\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.$