toán hình lớp 11

1) Tam giác SAC có đường trung tuyến $SO = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}AC$ nên SAC vuông tại S.

SO đồng thời là đường cao của tam giác SAC nên tam giác SAC vuông cân.

$SA = SA = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao $BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Tam giác SBD có SO là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên SBD cân tại S.

$SB = SD = \sqrt {S{O^2} + B{O^2}}  = a.$

2) Gọi K là trung điểm AB, I là trung điểm AK.

Tam giác ABD đều nên đường trung tuyến CK đồng thời là đường cao, $CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

OI là đường trung bình của tam giác CAI nên $OI = \frac{1}{2}CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}  và  OI\parallel CK.$

$Do  CK \bot AB \Rightarrow OI \bot AB$. 

Mà $SO \bot AB$

$\Rightarrow AB \bot (SOI)$

Trong (SOI), kẻ $OH \bot SI$

Mà $OH \bot AB$ (do $AB \bot (SOI)$)

$\Rightarrow OH \bot (SAB)$

$\Rightarrow d(O,(SAB)) = OH$

Trong tam giác SOI vuông tại O có đường cao OH, ta có:

$$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{28}}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow OH = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$$

Vậy ${\rm{d}}\left( {{\rm{O}},\left( {{\rm{SAB}}} \right)} \right){\rm{ }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.$

3) Ta có: $AC \bot BD,AC \bot SO \Rightarrow AC \bot (SBD)$

Trong (SBD), kẻ $OP \bot SB.$

Mà $OP \subset (SBD) \Rightarrow OP \bot AC$

$\Rightarrow OP$ là đường vuông góc chung của AC và SB.

$\Rightarrow d(AC,SB) = OP$

Trong tam giác SOB vuông tại O có đường cao OP, ta có:

$$\frac{1}{{O{P^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow OP = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$$

Vậy ${\rm{d}}\left( {{\rm{AC}},{\rm{SB}}} \right){\rm{ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.$