Tìm x,y nguyên tố sao cho $x^2+3xy+y^2$ là lũy thừa của 5

Question

Tìm x,y nguyên tố sao cho $x^2+3xy+y^2$ là lũy thừa của 5

score 2 · Answer 1

Đặt

$x^{2}$ + 3xy +

$y^{2}$ =

$5^{a}$ (a

$\in$ N*)

Vì x, y nguyên tố => a

$\geq$ 2

$\Rightarrow$

$x^{2}$ + 3xy +

$y^{2}$ =

$5^{a}$

$\geq$ 25

$\Rightarrow$

$x^{2}$ + 3xy +

$y^{2}$ chia hết 25

$\Rightarrow$

$x^{2}$ - 2xy +

$y^{2}$ +5xy chia hết 25

$\Rightarrow$

$(x-y)^{2}$ +5xy chia hết 25

$\Rightarrow$

$(x-y)^{2}$ chia hết 5

$\Rightarrow$ (x-y) chia hết 5 (vì 5 là số nguyên tố)

$\Rightarrow$

$(x-y)^{2}$ chia hết 25
mà

$(x-y)^{2}$ +5xy chia hết 25

$\Rightarrow$ 5xy chia hết 25

$\Rightarrow$ xy chia hết 5
mà x, y là số nguyên tố

$\Rightarrow$ x hoặc y chia hết 5
mà x, y là số nguyên tố

$\Rightarrow$ x=5 hoặc y=5
Mà x,y có vai trò như nhau nên xét nếu x=5

$\Rightarrow$

$5^{2}$ +3.5y -

$y^{2}$ =

$5^{a}$

$\Rightarrow$ 25 +15y -

$y^{2}$ =

$5^{a}$

$\Rightarrow$ y(15-y) =

$5^{b}$ (b

$\in$ N*)

$\Rightarrow$ y(15-y) chia hết 5

$\Rightarrow$

$y^{2}$ chia hết cho 5

$\Rightarrow$ y chia hết cho 5

$\Rightarrow$ y=5 (vì y là số nguyên tố)
Vậy x=5; y=5

Hỏi	24-03-13 09:41 PM
Lượt xem	5363
Hoạt động	13-06-13 09:48 PM

Tìm x,y nguyên tố sao cho $x^2+3xy+y^2$ là lũy thừa của 5