|
|
Đặt $x^{2}$ + 3xy + $y^{2}$ = $5^{a}$ (a$\in$ N*)
Vì x, y nguyên tố => a$\geq $ 2
$\Rightarrow $ $x^{2}$ + 3xy + $y^{2}$ = $5^{a}$ $\geq $ 25
$\Rightarrow $ $x^{2}$ + 3xy + $y^{2}$ chia hết 25
$\Rightarrow $ $x^{2}$ - 2xy + $y^{2}$ +5xy chia hết 25
$\Rightarrow $ $(x-y)^{2}$ +5xy chia hết 25
$\Rightarrow $ $(x-y)^{2}$ chia hết 5
$\Rightarrow $ (x-y) chia hết 5 (vì 5 là số nguyên tố)
$\Rightarrow $ $(x-y)^{2}$ chia hết 25
mà $(x-y)^{2}$ +5xy chia hết 25
$\Rightarrow $ 5xy chia hết 25
$\Rightarrow $ xy chia hết 5
mà x, y là số nguyên tố
$\Rightarrow $ x hoặc y chia hết 5
mà x, y là số nguyên tố
$\Rightarrow $ x=5 hoặc y=5
Mà x,y có vai trò như nhau nên xét nếu x=5
$\Rightarrow $ $5^{2}$ +3.5y - $y^{2}$ = $5^{a}$
$\Rightarrow $25 +15y - $y^{2}$ = $5^{a}$
$\Rightarrow $ y(15-y) = $5^{b}$ (b $\in$ N*)
$\Rightarrow $ y(15-y) chia hết 5
$\Rightarrow $ $y^{2}$ chia hết cho 5
$\Rightarrow $ y chia hết cho 5
$\Rightarrow $ y=5 (vì y là số nguyên tố)
Vậy x=5; y=5
|