Giới hạn của dãy số

Question

cho dãy (

$a_{n}$ ) :

$\begin{cases}a_{1}=1 \\ a_{n+1}=a_{n} +\frac{1}{a_{n}}\end{cases}$ (n

$\geq$ 1)
CMR

$\mathop {\lim }\limits_{n \to+ \infty } \frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

score 2 · Answer 1

Dễ thấy

$(a_n)$ là dãy tăng.
Giả sử

$(a_n)$ bị chặn trên thì

$\exists \lim a_n=L$ .
Khi đó:

$L=L+\frac{1}{L}$ (vô lý).
Vậy

$(a_n)$ không bị chặn hay

$\lim a_n=+\infty.$
Ta có:

$a_{n+1}^2=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}+2\Rightarrow a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2}.$
Vì

$\lim a_n=+\infty$ nên

$\lim (a_{n+1}^2-a_n^2)=2$ .
Đặt

$a_{n+1}^2-a_n^2=b_n$ ta được dãy

$(b_n)$ thỏa mãn

$\lim b_n=2$ .
Áp dụng định lý trung bình Ceraso:

$\lim \frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}=2$ hay

$\lim \frac{a_{n+1}^2-a_1^2}{n}=2$ .
Từ đó suy ra

$\lim \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$ .

1 Đáp án