|
|
a) $v_n=u_n-4$
$\Rightarrow v_{n+1}=u_{n+1}-4=\sqrt u_n +2-4=\sqrt u_n-2 =\frac{u_n-4}{\sqrt {u_n}+2} \leq \frac{u_n-4}{3} \forall n $
Do đó $0< v_{n+1} < \frac{1}{3} v_n \forall n$ (chú ý rằng $u_n>1 \forall n$)
Ta có: $v_2 \leq \frac{1}{3}v_1 $ và $v_3 \leq \frac{1}{3} v_2 \leq (\frac{1}{3} )^2 v_1$
Bằng quy nạp, ta dễ chứng minh được: $0< v_n \leq (\frac{1}{3} )^{n-1}v_1=4(\frac{1}{3} )^{n-1}$
Vậy $\lim v_n=0$ vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }(\frac{1}{3} )^{n-1}=0 $ (đpcm)
b) Vì $v_n=u_n-4 \Rightarrow \lim v_n= \lim u_n -4$ hay $0=\lim u_n -4$.
Vậy $\lim u_n=4$.
|