Ta có : ab3+2 = 12(a−ab3b3+2)= 12(a−ab3b3+1+1) ≥ 12(a−ab33b) =
12(a−ab23)Do đó:
Σab3+2≥12Σ(a−ab23).
Ta sẽ chứng minh:
ab2+bc2+ca2+abc≤4
Thật vậy không mất tính tổng quát, giả sử b nằm giữa a và c, thế thì a(b−a)(b−c)≤ 0.
Theo BĐT AM-GM thì:
ab2+bc2+ca2+abc = b(a+c)2−a(b−a)(b−c) ≤ b(a+c)2≤ 4
Do đó: ab2+bc2+ca2≤ 3.
Vậy Σab3+2≥12Σa−12≥32−12=1 (đpcm)