|
|
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta luôn có $x^2+y^2 \ge 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|.$
Sử dụng điều trên ta được
$2\left| {(a+b)(1-ab)} \right| \le (a+b)^2+(1-ab)^2=1+a^2+b^2+a^2b^2=(1+a^{2})(1+b^{2})$
Suy ra
$\left| {\dfrac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}} \right| \le \dfrac{1}{2} \iff -\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \dfrac{1}{2}$, đpcm.
|