|
|
Với mọi $a,b$ ta có đẳng thức sau :
$a^5+b^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)$
$\implies a^3+b^3=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)$
$\implies (a^2+b^2-1)(a^3+b^3)=a^2b^2(a+b)$
BĐT cần chứng minh
$\iff a^2+b^2-1 \le ab$
$\iff (a^2+b^2-1)(a^3+b^3) \le ab(a^3+b^3)$
$\iff a^2b^2(a+b) \le ab(a^3+b^3)$
$\iff ab(a+b) \le a^3+b^3$
$\iff ab \le a^2+b^2-ab$
$\iff 0 \le (a-b)^2$
Đây là điều hiển nhiên đúng. Vậy BĐT được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1.$
|