Ban giup minh

Question

Cho a,b>0 thoa man:

$a^{3}+b^{3}=a^{5}+b^{5}$
CMR:

$a^{2}+b^{2}\leq 1+ab$

score 3 · Answer 1

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Với mọi

$a,b$ ta có đẳng thức sau :

$a^5+b^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)$

$\implies a^3+b^3=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)$

$\implies (a^2+b^2-1)(a^3+b^3)=a^2b^2(a+b)$
BĐT cần chứng minh

$\iff a^2+b^2-1 \le ab$

$\iff (a^2+b^2-1)(a^3+b^3) \le ab(a^3+b^3)$

$\iff a^2b^2(a+b) \le ab(a^3+b^3)$

$\iff ab(a+b) \le a^3+b^3$

$\iff ab \le a^2+b^2-ab$

$\iff 0 \le (a-b)^2$
Đây là điều hiển nhiên đúng. Vậy BĐT được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow a=b=1.$

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 15-02-13 10:13 AM

Hỏi	15-02-13 09:44 AM
Lượt xem	1112
Hoạt động	15-02-13 10:11 AM

Ban giup minh

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Ban giup minh

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan