|
|
Viết lại hệ dưới dạng
$\begin{cases}mx-2y -m>0 \qquad (1)\\ (x-m)^2+(y+\dfrac{1}{2})^2=m^2+\dfrac{1}{4} \qquad (2)\end{cases}$
Dễ thấy $(2)$ là PT đường tròn tâm $I(m, -\dfrac{1}{2})$, còn $(1)$ là PT của một miền mặt phẳng mở $(\Omega)$ (tức là không có đường biên). Ta lại thấy $m^2+1-m>0 \quad \forall m$, như vậy thì $I \in (\Omega)$. Một cách trực quan thì đường tròn tâm $I$ bán kính bất kỳ này luôn cắt $(\Omega)$ và HPT này sẽ có nghiệm $ \forall m$. Đây là một định lý cơ bản của môn Topo đại cương trên Đại học. Với kiến thức của chúng ta hiện tại, sẽ có một cách giải thích khác như sau :
Với mọi $m$, ta lấy $(x,y)=(2m,-1)$
Thay vào $(1)$,
$2m^2+2-m >0$, luôn đúng với mọi $m$ vì $2m^2+2-m=m^2+(m-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{7}{4}>0$
Thay vào $(2)$,
$(x-m)^2+(y+\dfrac{1}{2})^2=m^2+\dfrac{1}{4} $, luôn đúng với mọi $m$.
Vậy hệ luôn có nghiệm $(x,y)=(2m,-1)\quad \forall m.$
|