|
|
Ta có
$\dfrac{1}{\tan \dfrac{C}{2}}=\cot \dfrac{C}{2}=\tan \left (\dfrac{A}{2}+ \dfrac{B}{2} \right )=\dfrac{\tan \dfrac{A}{2}+\tan \dfrac{B}{2}}{1-\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}}$
Nhân chéo và rút gọn ta được
$\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{C}{2}\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{C}{2}=1$
Áp dụng BĐT quen thuộc $\quad (x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx) \quad \forall x,y,z.$ Ta có
$\left ( \tan \dfrac{A}{2}+\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{C}{2} \right )^2 \ge 3\left (\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{C}{2}\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{C}{2}\right )=3$
Từ đây suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\iff \triangle ABC$ đều.
|