|
|
KMTTQ, giả sử a≤b≤c.
Xét hàm số f(x)=ab(x−a)(x−b)+bc(x−b)(x−c)+ca(x−c)(x−a) liên tục trên R.
Có f(a)=bc(a−b)(a−c),f(b)=ca(b−c)(b−a),f(c)=ab(c−a)(c−b) nên
f(a).f(b).f(c)=−[abc(a−b)(b−c)(c−a)]2≤0.
Ta có 2 TH:
Nếu trong f(a),f(b),f(c) có 1 số âm, 2 số dương, giả sử f(a)≤0≤f(b),f(c) thì phương trình f(x)=0 có nghiệm nằm giữa a và b.
Nếu f(a),f(b),f(c)≤0 thì từ giả thiết a≤b≤c ta suy ra ab,bc≤0≤ca.
Vì a≤b và ab≤0 nên a≤0≤b.
Vì bc≤0 nên c≤0⇒b=c=0.
Khi đó f(x)=0,∀x∈R.
Tóm lại, phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm trên R.
|