|
|
Điều kiện $x \ge 1.$ Dễ thấy rằng $\sqrt{x} -\sqrt{x-1}>0 \quad \forall x$
BPT
$\Leftrightarrow m \ge f(x) = \dfrac{x^{3} +3x^{2} -1}{(\sqrt{x} -\sqrt{x-1})^{3}}$
Ta có $f'(x)=\dfrac{6\sqrt{x-1}\sqrt{x^5}+12\sqrt{x-1}\sqrt{x^3}+3x^3+3x^2+9x^2-3}{2(\sqrt{x} -\sqrt{x-1})^{3}\sqrt{x} .\sqrt{x-1}}$
Với điều kiện $x \ge 1$ thì hiển nhiên có $f'(x)>0 \quad \forall x$, như vậy $F$ là hàm đồng biến nên $f(x) \ge f(1)=3$.
Như vậy để BPT có nghiệm thì $m \ge \min f(x)=f(1)=3.$
|