|
|
b) Trước hết nhắc lại không chứng minh BĐT khá quen thuộc sau
$\dfrac{a_1^2}{b_1}+ \dfrac{a_2^2}{b_2}+ \ldots+ \dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{b_1+b_2+\ldots+b_n} $
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a_1}{b_1}= \dfrac{a_2}{b_2}= \ldots= \dfrac{a_n}{b_n}$
Áp dụng
$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} \ge \dfrac{9}{ab+bc+ca}=\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca} \quad (1)$
$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}= \dfrac{9}{(a+b+c)^2}=9\quad (2)$
$ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2= \dfrac{1}{3} \implies \dfrac{7}{ab+bc+ca} \ge 21\quad (3)$
cộng theo từng vế $(1),(2),(3)$ và rút gọn ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $\iff a=b=c=1/3$
|