mn giai giup e voi nha. tks a

Question

CM trong moi tam giac luon co':

$\cos \frac{A}{2}$

$\sqrt{\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}$

$\leq$

$\frac{4\sqrt{3}}{9}$

score 5 · Answer 1

Ta có :

$\cos^2\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2} =\dfrac{1}{2}\cos^2\dfrac{A}{2}\left[\cos\dfrac{B+C}{2}+\cos\dfrac{B-C}{2}\right]$
Vì thế :

$\cos^2\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\le\dfrac{1}{2}\cos^2\dfrac{A}{2}(1+\sin\dfrac{A}{2})$

$\Leftrightarrow \cos^2\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\le\dfrac{1}{4}(1+\sin\dfrac{A}{2})(1+\sin\dfrac{A}{2})(2-2\sin\dfrac{A}{2})$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :

$(1+\sin\dfrac{A}{2})(1+\sin\dfrac{A}{2})(2-2\sin\dfrac{A}{2})\le\left[\dfrac{(1+\sin\dfrac{A}{2})+(1+\sin\dfrac{A}{2}) + (2-2\sin\dfrac{A}{2})}{3} \right]^3$

$\Rightarrow (1+\sin\dfrac{A}{2})^2(2-2\sin\dfrac{A}{2}) \le \dfrac{64}{27}$
Suy ra:

$\cos\dfrac{A}{2}\sqrt{\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}} \le \dfrac{4\sqrt3}{9}$
Dấu bằng xảy ra khi

$B=C,A = 2\arcsin\dfrac{1}{3}$

Hỏi	29-01-13 10:37 PM
Lượt xem	1523
Hoạt động	29-01-13 10:57 PM

mn giai giup e voi nha. tks a

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

mn giai giup e voi nha. tks a

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan