Cấp số.

Question

1. Tìm cấp số nhân có $5$ số hạng có tổng bằng $121$ đồng thời $U_1+U_5=82.$

2. Cho $(U_n)$ xác định: $\left\{ \begin{array}{l} U_1=1\\ U_2=2\\U_{n+1}=2U_n-U_{n-1}+1,\,\,\,\forall n\geq2 \end{array} \right.$
a) Chứng minh: $(V_n)=U{n+1}-U_n$ là cấp số cộng
b) Tính $U_n$ theo $n$.

score 4 · Answer 1

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

2b) Theo câu a) ta có
$\begin{cases}V_{n}-V_{n-1}=1 \\V_{n-1}-V_{n-2}=1\\ \cdots\\V_{2}-V_{1}=1\\V_1=U_{2}-U_{1}=2-1=1\end{cases}$
Cộng theo từng vế của $n$ đẳng thức này ta được $\quad V_{n}=n \quad \forall n.$
Ta lại có
$\begin{cases}U_{n}-U_{n-1}=V_{n-1}=n-1 \\U_{n-1}-U_{n-2}=V_{n-2}=n-2\\ \cdots\\U_{2}-U_{1}=V_{1}=1\\U_{1}=1\end{cases}$
Cộng theo từng vế của $n$ đẳng thức này ta được
$\quad U_{n}=1+1+2+\ldots+n-2+n-1=1+\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{(n-1)n+2}{2} \quad \forall n.$

score 4 · Answer 2

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

2a)
Ta xét biểu thức $V_{n+1}-V_n \quad \forall n \ge 1$
Ta có
$V_{n+1}-V_n = (U_{n+2}-U_{n+1})-(U_{n+1}-U_n)=U_{n+2}-2U_{n+1}+U_{n}=1$
Vì theo định nghĩa của dãy số $U_n$ thì $U_{n+2}=2U_{n+1}-U_{n}+1$.
Vậy $V_{n+1}-V_n=1\quad \forall n \ge 1$
Theo định nghĩa của cấp số cộng ta có đpcm.

score 1 · Answer 3

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

1. Gọi 5 số này là $u_1,u_1q,u_1q^2,u_1q^3,u_1q^4$
Ta có:
$u_1+u_1q+u_1q^2+u_1q^3+u_1q^4=121$
$u_1+u_1q^4=82$
Hay $\begin{cases}u_1(1+q+q^2+q^3+q^4)=121 \\ u_1(1+q^4)=82 \end{cases}$
Vậy $\frac{1+q+q^2+q^3+q^4}{1+q^4}=\frac{121}{82}$
Suy ra $-(-3 + q) (-1 + 3 q) (13 + 16 q + 13 q^2))=0$
Suy ra $q=3$ hoặc $q=1/3$
Suy ra $u_1=1$ hoặc $u_1=81$

score 4 · Answer 4

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

1
Ta có
$u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=S_5=u_1.\dfrac{1-q^5}{1-q}=121$
Và $82=u_1+u_5=u_1(1+q^4)$
Suy ra $\dfrac{121}{82}=\dfrac{1-q^5}{(1-q)(1+q^4)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{121}{82}-\dfrac{1-q^5}{(1-q)(1+q^4)}=0$
Quy đồng , rút gọn và phân tích đa thức thành nhân tử ta được
$\Leftrightarrow (q-3)(3q-1)(13q^2+16q+13)=0$
$\Leftrightarrow q=3$ hoặc $q=1/3.$
Với $q=3 \Rightarrow u_1=\dfrac{82}{1+3^4}=1$
Với $q=1/3 \Rightarrow u_1=\dfrac{82}{1+(1/3)^4}=81$
Vậy có hai cấp số nhân thỏa mãn
$1,3,9,27,81$
$81,27,9,3,1$

Hỏi	27-01-13 10:14 AM
Lượt xem	2773
Hoạt động	27-01-13 01:05 PM

Cấp số.

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Cấp số.

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan