BĐT 2

Question

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.

Chứng minh rằng: $P=a\left(\dfrac{1}{3a+b}+\dfrac{1}{3a+c}+\dfrac{2}{2a+b+c}\right)+\dfrac{b}{3a+c}+\dfrac{c}{3a+b}<2$

score 4 · Answer 1

Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên: $\left\{\begin{array}{l}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{array}\right.$
Đặt: $\dfrac{a+b}{2}=x;\dfrac{c+a}{2}=y,a=z\Rightarrow x+y>z;y+z>x;z+x>y$
Khi đó ta có:
$P=\dfrac{a+b}{3a+c}+\dfrac{a+c}{3a+b}+\dfrac{2a}{2a+b+c}$
$=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}$
Ta có: $x+y>z\Leftrightarrow z(x+y+z)<2z(x+y)\Leftrightarrow \dfrac{2z}{x+y+z}>\dfrac{z}{x+y}$
Tương tự: $\dfrac{2x}{x+y+z}>\dfrac{x}{y+z};\dfrac{2y}{x+y+z}>\dfrac{y}{x+z}$
Do đó: $\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}<\dfrac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2$
Hay: $P<2$

score 0 · Answer 2

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$6a^3+10a^2b+10a^2c+6abc+cb^2+c^2b-b^3-c^3>0$
Đặt
$a=y+z,b=x+z,c=x+y$ (a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên x,y,z>0 điều trên tương đương với
$56\,yzx+55\,{y}^{2}z+55\,y{z}^{2}+24\,{y}^{2}x+24\,{z}^{2}x+6\,y{x}^{2
}+6\,z{x}^{2}+15\,{y}^{3}+15\,{z}^{3}
>0$
và hiển nhiên điều này đúng.

Hỏi	26-01-13 07:32 PM
Lượt xem	1258
Hoạt động	27-01-13 08:42 PM

BĐT 2

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BĐT 2

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan