|
|
Vì x,y,z là độ dài 3 cạnh tam giác nên :1-\frac{x}{y+z},1-\frac{y}{x+z},1-\frac{z}{x+y}\geq 0Ta Có:
P=\sqrt{1-\frac{x}{y+z}} +\sqrt{1-\frac{y}{x+z}}+\sqrt{1-\frac{z}{x+y}}\leq \frac{1-\frac{x}{y+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{y}{x+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{z}{x+y}+1}{2}
Hay 2P \leq 6-(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})
Đặt A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}
Ta có:Áp dụng hệ quả bđt Bunhiacopxi
Ta có :A\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}
Mà \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}\geq \frac{3}{2}.Dễ dàng chứng minh thôi nhân chéo là ra
Suy ra A\geqslant \frac{3}{2}
Nên P \leq\frac{6-\frac{3}{2}}{2}<=>P\leq \frac{9}{4}
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z.Hay tam giác đó đều
Vậy max P=\frac{9}{4} Khi tam giác đều
|