cấp số nhân

Question

Cho 3 số dương a,b,c lập thành 1 CSN. CMR 3 số:

$\frac{1}{3}(a+b+c); \sqrt{\frac{1}{3}(ab+bc+ca)}; \sqrt[3]{abc}$ cũng lập thành một CSN.

score 4 · Answer 1

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Vì

$a;b;c$ lập thành cấp số nhân nên

$ac=b^2$
Ta có:

$\frac{1}{3}(a+b+c)\sqrt[3]{abc}$

$=\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^4bc}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{ab^4c}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{abc^4}$

$=\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^3b.b^2}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{a(ac)^2c}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{b^2.bc^3}$

$=\frac{1}{3}(ab+bc+ca)=\left(\sqrt{\frac{1}{3}(ab+bc+ca)}\right)^2$
Suy ra:

$\frac{1}{3}(a+b+c);\sqrt{\frac{1}{3}(ab+bc+ca)};\sqrt[3]{abc}$ lập thành một cấp số nhân

score 5 · Answer 2

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Giả sử

$a,b,c>0$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công sai

$q > 0.$
Suy ra có thể viết

$b=aq, c=aq^2.$
Ta có

$A=\dfrac{1}{3}(a+b+c)=\dfrac{1}{3}(a+aq+aq^2)=\dfrac{1}{3}a(1+q+q^2)$

$B=\sqrt{\dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)}=\sqrt{\dfrac{1}{3}(a^2q+a^2q^3+a^2q^2)}=\sqrt{\dfrac{1}{3}a^2q(1+q+q^2)}$

$C= \sqrt[3]{abc}= \sqrt[3]{a.aq.aq^2}= \sqrt[3]{a^3q^3}=aq$
Ta thấy rằng

$AC=\dfrac{1}{3}a^2q(1+q+q^2)=B^2$
Theo định nghĩa của cấp số nhân suy ra

$A,B,C$ thứ tự lập thành một cấp số nhân, đpcm.

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 15-01-13 08:29 PM

Hỏi	15-01-13 08:04 PM
Lượt xem	1990
Hoạt động	15-01-13 08:33 PM

cấp số nhân

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

cấp số nhân

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan