|
|
Gọi $M,N,P,H$ là hình chiếu của $O$ trên $BC,CA,AB,(ABC)$.
Để cho gọn, ta kí hiệu $OA=a,OB=b,OC=c,OM=h_a,ON=h_b,OP=h_c,OH=h$.
Ta có: $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OK^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.$
Mặt khác: $\frac{1}{h_a^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2},\frac{1}{h_b^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2},\frac{1}{h_c^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}.$
Từ đó suy ra: $\frac{2}{h^2}=\frac{1}{h_a^2}+\frac{1}{h_b^2}+\frac{1}{h_c^2}.$
Mà $\cos \alpha =\frac{h}{h_a},\cos \beta =\frac{h}{h_b},\cos \gamma =\frac{h}{h_c}$ nên ta có đpcm.
|