|
|
Vì $x,y,z$ không có điều kiện dương nên ta cần lưu ý một chút. Cụ thể như sau
Áp dụng AM-GM cho $x^2,y^2 \ge 0$ ta được
$x^2+y^2 \ge 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy| \ge 2xy$
Tương tự
$z^2+y^2\ge 2zy$
$x^2+z^2\ge 2xz$
Cộng theo từng vế ba BĐT trên ta có
$2(x^2+y^2+z^2) \ge 2xy+2yz+2zx$
từ đây suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z\\ x,y,z \text{ cùng dấu} \end{cases}\Leftrightarrow x=y=z$
|