Chứng minh một BĐT cơ bản bằng $AM-GM.$

Question

Dùng BĐT

$AM-GM$ chứng minh rằng:

$3\left(x^2+y^2+z^2\right)\geq\left(x+y+z\right)^2$

score 5 · Answer 1

Vì

$x,y,z$ không có điều kiện dương nên ta cần lưu ý một chút. Cụ thể như sau
Áp dụng AM-GM cho

$x^2,y^2 \ge 0$ ta được

$x^2+y^2 \ge 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy| \ge 2xy$
Tương tự

$z^2+y^2\ge 2zy$

$x^2+z^2\ge 2xz$
Cộng theo từng vế ba BĐT trên ta có

$2(x^2+y^2+z^2) \ge 2xy+2yz+2zx$
từ đây suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z\\ x,y,z \text{ cùng dấu} \end{cases}\Leftrightarrow x=y=z$

lời giải hay nhỉ, hì – babylionneu 07-01-13 08:49 PM

score 2 · Answer 2

Theo AM-GM thì

$2xy\leq x^2+y^2$

$2zy\leq z^2+y^2$

$2xz\leq x^2+z^2$
Vậy

$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\leq 3(x^2+y^2+z^2)$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)$

2 Đáp án