|
|
Theo giả thiết a, b,c >0
Có: $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$+ $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$= 2. $\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$
=> $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}= \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$
=> $2. (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})= (\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c}) $
=> $2\sqrt{ab}+2b+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}= a+\sqrt{ac}+ 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+ \sqrt{ac}+c$
=> 2b= a+c
Như vậy, a, b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Chứng minh chiều ngược lại tương tự.
|