bat dang thuc

Question

su dung bat dang thuc chung minh cho cac BDT sau:

a/

$\frac{1}{4a^{2} + 4b^{2}} + \frac{1}{8ab} \geqslant \frac{1}{(a + b)^{2}}$

$\forall a, b > 0$
b/

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant \frac{4}{2a + b + c} + \frac{4}{2b + c + a} + \frac{4}{2c + a +b}$

$\forall a, b, c$ > 0

score 2 · Answer 1

Ta có

$\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}\geq \frac{1}{x+y}$ (Điều này tương tương với

$(x-y)^2\geq0$ ) (*)
a/
Áp dụng (*) với

$x=a^2+b^2,y=2ab$ ta có:

$\frac{1}{4a^{2} + 4b^{2}} + \frac{1}{8ab}\geq \frac{1}{a^2 + b^{2}+2ab} = \frac{1}{(a + b)^{2}}$

$\forall a, b > 0$
b/
Theo (*) thì

$\frac{1}{4b}+\frac{1}{4b}\geq \frac{1}{a+b}$

$\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}\geq \frac{1}{b+c}$

$\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}\geq \frac{1}{c+a}$
cộng theo vế ta được

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$ (1)
Ta lại áp dụng (*)

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{4}{2a + b + c}$

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{2b + a + c}$

$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{4}{2c + b + a}$
cộng theo vế suy ra

$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geqslant \frac{4}{2a + b + c} + \frac{4}{2b + c + a} + \frac{4}{2c + a +b}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant \frac{4}{2a + b + c} + \frac{4}{2b + c + a} + \frac{4}{2c + a +b}$

$\forall a, b, c$ > 0

1 Đáp án