gọi công thức tổng quát của cấp số cộng là $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ (*)
khi đó:
$S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}$
chứng minh:
$ S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d$
$ S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n$
$ 2S_n=n(a_1+a_n)$
$ S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}$. (1)
$ S_n=\frac{n( 2a_1 + (n-1)d)}{2}$ (2)
Trở lại bài:
1.$S_{m}=S_{n},\forall m,n$
Theo công thức (1) thì $a_{n}=a_{m}, \forall m,n $
Mà $S_{1}=S_2$ nên $a_1=a_1+a_2=2a_1$
nên $a_1=0$
Vậy $S_k=0,\forall k $ (ĐPCM)
2.$\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2}$
Kết hợp với (1)
Ta suy ra $\frac{a_1+a_m}{a_1+a_n}=\frac{m}{n}$
Suy ra $na_m-ma_n=(m-n)a_1$
Kết hợp với (*) suy ra $na_1-ma_1+d(n(m-1)-m(n-1))=(m-n)a_1$
Vậy $a_1=2d$
Thay vào công thức (*) ta có : $a_n=(2n-1)a_1$
Từ đó $\frac{a_n}{a_m}=\frac{2n-1}{2m-1}$ (ĐPCM)