Dùng BĐT AM-GM trong chứng minh BĐT(2).

Question

Cho

$a,\,b,\,c$ dương và

$abc=1.$ Chứng minh rằng:

$\dfrac{2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{2}{c^3\left(a+b\right)}\geq3$

score 6 · Answer 1

Đặt

$a= \dfrac{1}{x}, b= \dfrac{1}{y},c= \dfrac{1}{z} \Rightarrow xyz=1.$
Ta có

$\dfrac{2}{a^3\left(b+c\right)}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{x^3}\left(\dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}\right)}= \dfrac{2x^2}{y+z}$ , do

$xyz=1.$
Như vậy
Vế trái

$=\sum\dfrac{2}{a^3\left(b+c\right)}=\sum\dfrac{2x^2}{y+z}$
Áp dụng AM-GM ta có

$\dfrac{2x^2}{y+z} + \dfrac{y+z}{2} \ge 2\sqrt{\dfrac{2x^2}{y+z} . \dfrac{y+z}{2} }=2x$
Suy ra

$\sum\dfrac{2x^2}{y+z}+\sum\dfrac{y+z}{2} \ge \sum2x$

$\Leftrightarrow \sum\dfrac{2x^2}{y+z}+x+y+z \ge 2(x+y+z)$

$\Leftrightarrow \sum\dfrac{2x^2}{y+z} \ge x+y+z$

$\Leftrightarrow \sum\dfrac{2x^2}{y+z} \ge x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}=3$
Vậy

$\sum\dfrac{2}{a^3\left(b+c\right)}\ge 3$ , đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi

$a=b=c=1.$

score 4 · Answer 2

Đặt

$x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow xyz=1$
BĐT cần chứng minh trở thành:

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{3}{2}$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x$

$\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x+z}.\frac{x+z}{4}}=y$

$\frac{z^2}{y+x}+\frac{y+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{y+x}.\frac{y+x}{4}}=z$
Suy ra:

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi:

$x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$

2 Đáp án