Dùng BĐT AM-GM trong chứng minh BĐT(1).

Question

Cho $a,\,b,\,c$ dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}$$

score 2 · Answer 1

Điều cần chứng minh tương đương với
$2(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 3(a+b+c) $ (*)
Ta có:
$a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)^2/3$
Nên vế trái của (*) $\geq \frac{2(a+b+c)^2}{3}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}) $
Ta chứng minh:
$\frac{2(a+b+c)^2}{3}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 3(a+b+c)$
Hay
$\frac{2(a+b+c)}{3}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 3$
$2(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$ (**)
Điều này đúng vì
$2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$
và:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a+b}\frac{1}{b+c}\frac{1}{c+a}}$
Ta nhân theo vế là có (**)

score 5 · Answer 2

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Trước hết dùng BĐT AM-GM dễ chứng minh được các BĐT sau
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{x+y+z} \qquad \forall x,y,z >0.$
và
$3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2\Rightarrow \dfrac{9}{x+y+z} \ge \dfrac{ 3(x+y+z)}{x^2+y^2+z^2}\qquad \forall x,y,z >0.$
Áp dụng ta có
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}\geq\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Có dấu cộng nữa ạ tại nó không có hiện nha anh – Xusint 03-01-13 03:32 PM

Anh Tân ơi BĐT $3\left(x^2 y^2 z^2\right)\geq\left(x y z\right)^2$ chứng minh bằng AM-GM thế nào anh nhỉ? – Xusint 03-01-13 03:32 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 02-01-13 10:13 PM

Hỏi	02-01-13 07:27 PM
Lượt xem	1722
Hoạt động	02-01-13 10:29 PM

Dùng BĐT AM-GM trong chứng minh BĐT(1).

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Dùng BĐT AM-GM trong chứng minh BĐT(1).

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan