|
|
a)
+ Tính $5$ số hạng đầu $u_1=3, u_2=2, u_3=\dfrac{3}{2}, u_4=\dfrac{5}{4}, u_5=\dfrac{9}{8} $
+ Dự đoán số hạng tổng quát $\quad u_n=2^{2-n}+1 \quad \forall n \in \mathbb N.$
Với $n=1$, hiển nhiên thấy đúng.
Giả sử công thức đúng với $n=k \ge 2$, tức là $\quad u_k=2^{2-k}+1$.
Theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có
$u_{k+1}=\dfrac{1}{2}(u_{k}+1)=\dfrac{1}{2}(2^{2-k}+2)=\dfrac{1}{2}.2(2^{2-k-1}+1)=2^{2-(k+1)}+1$
Điều này có nghĩa là công thức cũng đúng với $n=k+1$.
Vậy $\quad u_n=2^{2-n}+1 \quad \forall n \in \mathbb N.$
|