lớp 12

Question

chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c và mọi số thực x>1 , ta có :

$\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{x}$

score 1 · Answer 1

Trước hết ta chứng minh khẳng định sau:
Với

$a,b>0,x>1$ ta có

$\frac{a^x+b^x}{2}\geq \left( \frac{a+b}{2}\right)^x$ .
Thật vậy, KMTTQ, giả sử

$a\leq b$ và đặt

$\frac{a+b}{2}=c$ thì

$a\leq c\leq b$ .
Hàm số

$f(t)=t^x$ thỏa mãn đk của định lý Lagrange trên

$[a,c]$ và

$[c,b]$ nên ta có:

$\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=f'(u)$ và

$\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f'(v)$ với

$a\leq u\leq c\leq v\leq b$ .
Mà

$f''(t)=x(x-1)t^{x-2}>0$ nên

$f'(t)$ đồng biến. Ta có

$f'(u)\leq f'(v)$ .
Chú ý rằng

$c-a=b-c$ ta được

$(c)-f(a)\leq f(b)-f(c)$ , đpcm.

Trở lại bài toán, với

$a,b,c,d>0,x>1$ ta có:

$f(a)+f(b)\geq 2f\left( \frac{a+b}{2}\right),f(c)+f(d)\geq 2f\left( \frac{c+d}{2}\right)$ .
Cộng 2 BĐT trên vế theo vế ta được:

$f(a)+f(b)+f(c)+f(d)\geq 2\left[ f\left( \frac{a+b}{2}\right) +f\left( \frac{c+d}{2}\right) \right]$
Lại có:

$f\left( \frac{a+b}{2}\right) +f\left( \frac{c+d}{2}\right)\geq 2f\left( \frac{a+b+c+d}{2}\right)$ .
Như vậy

$f(a)+f(b)+f(c)+f(d)\geq 4f\left( \frac{a+b+c+d}{2}\right)$ .
Chọn

$d=\frac{a+b+c}{3}$ ta được đpcm.

1 Đáp án