|
|
b)
Đặt $t= \dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}+ 1}{\sqrt 3}\Rightarrow dt =\frac{1}{\sqrt 3}(1:\cos^2 \dfrac{x}{2})dx$
Bạn tự chứng minh đẳng thức sau xem như bài tập nhé.
$\dfrac{1}{2+ \sin x}=(1:\left[ {\left ( \dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}+ 1}{\sqrt 3} \right )^2+1} \right]).\frac{2}{3}(1:\cos^2 \dfrac{x}{2})dx$
Suy ra
$\int\limits_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{2+ \sin x}dx=\int\limits_{\frac{1}{\sqrt 3}}^{\sqrt 3}\frac{2}{\sqrt 3}.\dfrac{1}{t^2+1}dt=\left[ {\frac{2}{\sqrt 3}\arctan t} \right]_{\frac{1}{\sqrt 3}}^{\sqrt 3}=\frac{2}{\sqrt 3} .\frac{\pi}{6}$
|