|
|
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$
KMTTQ, giả sử $a\geq b\geq c$ thì $ab\geq 1$. Khi đó:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}+1}$.
$ab+bc+ca\geq ab+2c\sqrt{ab}$
Đặt $c=x^2\leq 1$ thì $\sqrt{ab}=\frac{1}{x}$ ta cần chứng minh:
$\frac{1}{1+x^2}+\frac{2x}{1+x}\geq \frac{9x^2}{2(2x^3+1)}$
$2(x^2-1)^2\geq x^6+9x^5-10x^4+x^3+5x^2-6x$
BĐT trên đúng với $0<x\leq 1$.
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
|