bài này

Gọi $\alpha$ là trung bình cộng của n số

Ta cần chứng minh 

Dấu bằng xảy ra khi α = x_i Với mọi i ∈ {1, . . . , n}.

Ta dùng quy nạp
Với n = 1 hiển nhiên

Giả sử : ĐPCM đúng với n số
Xét với n + 1 số thực không âm. Trung bình cộng α bằng:

Nếu mọi số đều bằng α, ta có ngay ĐPCM. Giả sử có 1 số lớn hơn α khi đó có một số nhở hơn α, Giả sử (khôngmấttính tổng quát) x_n > α và x_n+1 < α. Khi ấy

Bây giờ, xét n số x₁, . . . , x_n–1, y với

Khi ấy 

α cũng là tổng của n số x₁, . . . , x_n–1, y và theo giả thuyết quy nạp thì

Từ (*) ta có

hay

Vậy từ (**) và (***) suy ra:
 

Ta đã chứng minh xong cho $n+1$ số => ĐPCM